Отправлено: 16.03.11 18:16. Заголовок: вопрос 5

Константин Юрьевич, здравствуйте! Помогите пожалуйста, возникли трудности. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

 Отправлено: 17.03.11 06:33. Заголовок: Здравствуйте! Укажит..

Здравствуйте!

цитата:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение:
1) Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).
2) Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием x двузначна (94 = 23_x), то справедливо равенство
94 = 2*x² + 3
Нас интересуют натуральные решения этого уравнения x > 3, таких решений нет.
3) Покажем, что число не может быть четырехзначным. Минимальное допустимое четырехзначное число - 2300_x, где x >= 4. При минимальном основании (x=4) оно равно
2*4³ + 3*4² = 176 > 94,
поэтому искомое число имеет не больше трех знаков.
4) На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть
94 = 23M_x = 2*x² + 3*x + M,
где M < x - целое неотрицательное число.
5) Определим максимальное x как решение уравнения
94 = 2*x² + 3*x,
получаем одно из решений 6,15, поэтому x <= 6.
6) При известном x для вычисления M используем формулу
M = 94 - 2*x² - 3*x
в которую подставляем различные x от 4 до 6, причем нужно получить M < x.
7) Минимальное M получится при x=6:
M = 94 - 2*6² - 3*6 = 4,
что удовлетворяет условию M < x.
8) При x = 4 и x = 5 получается M > x, эти решения не подходят.

Ответ: 6.